3x^2+20x-60=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +20x-60 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{2 \sqrt{70} - 10}{3} \approx 2,244400177$$

$$x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}\approx -8,911066844$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+20x-60=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 20 und c durch -60, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -60.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+720}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 400 zu 720.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1120}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1120.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 4\sqrt{70}.

$$x=\frac{4\sqrt{70}-20}{6}$$

Dividieren Sie -20+4\sqrt{70} durch 6.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{70} von -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{70}-20}{6}$$

Dividieren Sie -20-4\sqrt{70} durch 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3} x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+20x-60=0$$

Addieren Sie 60 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+20x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Die Subtraktion von -60 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+20x=-\left(-60\right)$$

Subtrahieren Sie -60 von 0.

$$3x^{2}+20x=60$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+20x}{3}=\frac{60}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=\frac{60}{3}$$

Dividieren Sie 60 durch 3.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=20$$

Dividieren Sie \frac{20}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{10}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=20+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{10}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=20+\frac{100}{9}$$

Addieren Sie 20 zu \frac{100}{9}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{280}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{280}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{280}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{10}{3}=\frac{2\sqrt{70}}{3} x+\frac{10}{3}=-\frac{2\sqrt{70}}{3}$$

\frac{10}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3} x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$