3+12x-4x^2=0 lösen

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 12 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 144 zu 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 192.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Dividieren Sie -12+8\sqrt{3} durch -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{3} von -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Dividieren Sie -12-8\sqrt{3} durch -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Dividieren Sie 12 durch -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Dividieren Sie -3 durch -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$