28x^2-8x-48=0 lösen

$$28 x ^ { 2 } - 8 x - 48 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{85} + 1}{7} \approx 1,459934922$$

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}\approx -1,174220637$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 28, b durch -8 und c durch -48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-112\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Multiplizieren Sie -112 mit -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+5376}}{2\times 28}$$

Addieren Sie 64 zu 5376.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{5440}}{2\times 28}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 5440.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 28.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 8\sqrt{85}.

$$x=\frac{8\sqrt{85}+8}{56}$$

Dividieren Sie 8+8\sqrt{85} durch 56.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{85} von 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{85}}{56}$$

Dividieren Sie 8-8\sqrt{85} durch 56.

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

Addieren Sie 48 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$28x^{2}-8x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Die Subtraktion von -48 von sich selbst ergibt 0.

$$28x^{2}-8x=-\left(-48\right)$$

Subtrahieren Sie -48 von 0.

$$28x^{2}-8x=48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 28.

$$\frac{28x^{2}-8x}{28}=\frac{48}{28}$$

Division durch 28 macht die Multiplikation mit 28 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{28}\right)x=\frac{48}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{48}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{48}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{12}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{12}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{12}{7}+\frac{1}{49}$$

Addieren Sie \frac{12}{7} zu \frac{1}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{85}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{85}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{85}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{85}}{7}$$

Addieren Sie \frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$