25y^2-54y-63=0 lösen

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 25y^{2}+ay+by-63 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1575 ergeben.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -54 ergibt.

$$a=-75 b=21$$

25y^{2}-54y-63 als \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) umschreiben.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Klammern Sie 25y in der ersten und 21 in der zweiten Gruppe aus.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-3=0 und 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -54 und c durch -63, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-54 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 2916 zu 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -54 ist 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{54±96}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 54 zu 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Dividieren Sie 150 durch 50.

$$y=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{54±96}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 96 von 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Addieren Sie 63 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Die Subtraktion von -63 von sich selbst ergibt 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Subtrahieren Sie -63 von 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{54}{25}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{27}{25} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{27}{25} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{27}{25}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Addieren Sie \frac{63}{25} zu \frac{729}{625}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Faktor y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Addieren Sie \frac{27}{25} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$