25x^2-10x-x^2-25=0 lösen

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Kombinieren Sie 25x^{2} und -x^{2}, um 24x^{2} zu erhalten.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 24x^{2}+ax+bx-25 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -600 ergeben.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-30 b=20$$

24x^{2}-10x-25 als \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Klammern Sie 6x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-5=0 und 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Kombinieren Sie 25x^{2} und -x^{2}, um 24x^{2} zu erhalten.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 24, b durch -10 und c durch -25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 100 zu 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±50}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{60}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±50}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 50 von 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Kombinieren Sie 25x^{2} und -x^{2}, um 24x^{2} zu erhalten.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Auf beiden Seiten 25 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$24x^{2}-10x=25$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Division durch 24 macht die Multiplikation mit 24 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Addieren Sie \frac{25}{24} zu \frac{25}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Addieren Sie \frac{5}{24} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$