24x^2-65x+21=0 lösen

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 24x^{2}+ax+bx+21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 504 ergeben.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -65 ergibt.

$$a=-56 b=-9$$

24x^{2}-65x+21 als \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Klammern Sie 8x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-7=0 und 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 24, b durch -65 und c durch 21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-65 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 4225 zu -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Das Gegenteil von -65 ist 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{65±47}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 65 zu 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{112}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{65±47}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 47 von 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

21 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Die Subtraktion von 21 von sich selbst ergibt 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Division durch 24 macht die Multiplikation mit 24 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-21}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{65}{24}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{65}{48} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{65}{48} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{65}{48}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Addieren Sie -\frac{7}{8} zu \frac{4225}{2304}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Addieren Sie \frac{65}{48} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$