24x^2+10x-21 lösen

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Faktorisieren

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 24x^{2}+ax+bx-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -504 ergeben.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-18 b=28$$

24x^{2}+10x-21 als \left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Klammern Sie 6x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 100 zu 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±46}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{36}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±46}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 46 von -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-56}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{7}{6} ein.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Multiplizieren Sie \frac{4x-3}{4} mit \frac{6x+7}{6}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 24 in 24 und 24 aufheben.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Auswerten

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$