23x^2+5x+3=0 lösen

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0,108695652+0,344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0,108695652-0,344412598i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 23, b durch 5 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

Multiplizieren Sie -92 mit 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

Addieren Sie 25 zu -276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{251} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$23x^{2}+5x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

Division durch 23 macht die Multiplikation mit 23 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

Dividieren Sie \frac{5}{23}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{46} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{46} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{46}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

Addieren Sie -\frac{3}{23} zu \frac{25}{2116}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

\frac{5}{46} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$