23x^2+45x-2 lösen

$$23 x ^ { 2 } + 45 x - 2$$

Faktorisieren

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 23x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=45 ab=23\left(-2\right)=-46$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -46 ergeben.

$$-1,46 -2,23$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+46=45 -2+23=21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 45 ergibt.

$$a=-1 b=46$$

23x^{2}+45x-2 als \left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right) umschreiben.

$$\left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(23x-1\right)+2\left(23x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 23x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$23x^{2}+45x-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

45 zum Quadrat.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 23.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-92\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Multiplizieren Sie -92 mit -2.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+184}}{2\times 23}$$

Addieren Sie 2025 zu 184.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2209}}{2\times 23}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2209.

$$x=\frac{-45±47}{2\times 23}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 23.

$$x=\frac{-45±47}{46}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-45±47}{46}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -45 zu 47.

$$x=\frac{2}{46}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{46} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{23}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-45±47}{46}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 47 von -45.

$$x=-\frac{92}{46}$$

Dividieren Sie -92 durch 46.

$$x=-2$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{23} und für x_{2} -2 ein.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x+2\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{23} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$23x^{2}+45x-2=23\times \frac{23x-1}{23}\left(x+2\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 23 in 23 und 23 aufheben.

$$23x^{2}+45x-2=\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$