22x^2+24x-9=0 lösen

$$22 x ^ { 2 } + 24 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}\approx 0,295147364$$

$$x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}\approx -1,386056455$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$22x^{2}+24x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 22, b durch 24 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 22\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 22\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 22.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-88\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

Multiplizieren Sie -88 mit -9.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+792}}{2\times 22}$$

Addieren Sie 576 zu 792.

$$x=\frac{-24±\sqrt{1368}}{2\times 22}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1368.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{2\times 22}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 22.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -24 zu 6\sqrt{38}.

$$x=\frac{6\sqrt{38}-24}{44}$$

Dividieren Sie -24+6\sqrt{38} durch 44.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{38} von -24.

$$x=\frac{-6\sqrt{38}-24}{44}$$

Dividieren Sie -24-6\sqrt{38} durch 44.

$$x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11} x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$22x^{2}+24x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$22x^{2}+24x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$22x^{2}+24x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$22x^{2}+24x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 22.

$$\frac{22x^{2}+24x}{22}=\frac{9}{22}$$

Division durch 22 macht die Multiplikation mit 22 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{24}{22}x=\frac{9}{22}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{24}{22} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x=\frac{9}{22}$$

Dividieren Sie \frac{12}{11}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{6}{11} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{6}{11} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\left(\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{9}{22}+\left(\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{6}{11}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{9}{22}+\frac{36}{121}$$

Addieren Sie \frac{9}{22} zu \frac{36}{121}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{171}{242}$$

Faktor x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{171}{242}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{171}{242}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{6}{11}=\frac{3\sqrt{38}}{22} x+\frac{6}{11}=-\frac{3\sqrt{38}}{22}$$

\frac{6}{11} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11} x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$