2y^2+y-21=0 lösen

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Nach y auflösen

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$y=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2y^{2}+ay+by-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-6 b=7$$

2y^{2}+y-21 als \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right) umschreiben.

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Klammern Sie 2y in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-3=0 und 2y+7=0.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 1 und c durch -21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

1 zum Quadrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 1 zu 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±13}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie 12 durch 4.

$$y=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±13}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Addieren Sie 21 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Die Subtraktion von -21 von sich selbst ergibt 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Subtrahieren Sie -21 von 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie \frac{21}{2} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$