2y^2+2y-1=0 lösen

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 2 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

2 zum Quadrat.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{3} durch 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{3} von -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{3} durch 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 2 durch 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor y^{2}+y+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$