2x-5=sqrt{x^2-7} lösen

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

\left(2x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x^{2}-7} mit 2, und erhalten Sie x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Auf beiden Seiten 7 addieren.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

Addieren Sie 25 und 7, um 32 zu erhalten.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+32 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 96 ergeben.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$a=-12 b=-8$$

3x^{2}-20x+32 als \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -8 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Ersetzen Sie x durch 4 in der Gleichung 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Vereinfachen. Der Wert x=4 entspricht der Formel.

$$3=3$$

Ersetzen Sie x durch \frac{8}{3} in der Gleichung 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{8}{3} entspricht der Formel.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Auflisten aller Lösungen 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$