2x^4-5x^3+4x^2-5x+2 lösen

$$2 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 5 x + 2$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Lösungsschritte

Um den Ausdruck zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 2 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 2 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±1,±2,±\frac{1}{2}$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=2$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2 durch x-2, um 2x^{3}-x^{2}+2x-1 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -1 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 2 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{1}{2},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=\frac{1}{2}$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 2x^{3}-x^{2}+2x-1 durch 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, um x^{2}+1 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$x^{2}+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 0 und c durch 1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Das Polynom x^{2}+1 ist nicht faktorisiert, weil es keine rationalen Nullstellen besitzt.

$$x^{2}+1$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck mit den erhaltenen Wurzeln um.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$