2x^2-7x-9<0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 7 x - 9 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}-7x-9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -7 und c durch -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{7±11}{4}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{7±11}{4}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$2\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+1\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\frac{9}{2} und x+1 gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{9}{2} positiv und x+1 negativ ist.

$$x-\frac{9}{2}>0 x+1<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x+1 positiv und x-\frac{9}{2} negativ ist.

$$x+1>0 x-\frac{9}{2}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right)$$