2x^2-19x-10=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -19 ergibt.

$$a=-20 b=1$$

2x^{2}-19x-10 als \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Klammern Sie 2x in 2x^{2}-20x aus.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und 2x+1=0.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -19 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-19 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 361 zu 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -19 ist 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{19±21}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 19 zu 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Dividieren Sie 40 durch 4.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{19±21}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie 10 durch 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Dividieren Sie -\frac{19}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Addieren Sie \frac{19}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$