2x^2-15x=-7 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 7 addieren.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx+7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 14 ergeben.

$$-1,-14 -2,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -15 ergibt.

$$a=-14 b=-1$$

2x^{2}-15x+7 als \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und 2x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -15 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 225 zu -56.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±13}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 13.

$$x=\frac{28}{4}$$

Dividieren Sie 28 durch 4.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±13}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{15}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

Addieren Sie -\frac{7}{2} zu \frac{225}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Addieren Sie \frac{15}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$