2x^2-11x+16=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -11 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 121 zu -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{7} von 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie -16 durch 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Dividieren Sie -\frac{11}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Addieren Sie -8 zu \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Addieren Sie \frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$