2x^2-4/3x-2=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } x - 2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1,387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0,72075922$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-\frac{4}{3}x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -\frac{4}{3} und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}+16}}{2\times 2}$$

Addieren Sie \frac{16}{9} zu 16.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{160}{9}}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{160}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{4\sqrt{10}}{3}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -\frac{4}{3} ist \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{4\sqrt{10}}{3}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{4\sqrt{10}}{3}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{4\sqrt{10}}{3}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{4}{3} zu \frac{4\sqrt{10}}{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+4}{3\times 4}$$

Dividieren Sie \frac{4+4\sqrt{10}}{3} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{4\sqrt{10}}{3}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{4\sqrt{10}}{3} von \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-4\sqrt{10}}{3\times 4}$$

Dividieren Sie \frac{4-4\sqrt{10}}{3} durch 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-\frac{4}{3}x-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-\frac{4}{3}x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-\frac{4}{3}x=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$2x^{2}-\frac{4}{3}x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-\frac{4}{3}x}{2}=\frac{2}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{2}\right)x=\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3} durch 2.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie 2 durch 2.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$