2x^2+23x+51 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 23 x + 51$$

Faktorisieren

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx+51 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=23 ab=2\times 51=102$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 102 ergeben.

$$1,102 2,51 3,34 6,17$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+102=103 2+51=53 3+34=37 6+17=23$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 23 ergibt.

$$a=6 b=17$$

2x^{2}+23x+51 als \left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 17 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x+3\right)+17\left(x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}+23x+51=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

23 zum Quadrat.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-8\times 51}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 51.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-408}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 529 zu -408.

$$x=\frac{-23±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-23±11}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-23±11}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-23±11}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -23 zu 11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie -12 durch 4.

$$x=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-23±11}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -23.

$$x=-\frac{34}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-34}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{17}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -3 und für x_{2} -\frac{17}{2} ein.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-\left(-\frac{17}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\left(x+\frac{17}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{17}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\times \frac{2x+17}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}+23x+51=\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Auswerten

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$