2p^2-3p-18=0 lösen

$$2 p ^ { 2 } - 3 p - 18 = 0$$

Nach p auflösen

$$p = \frac{3 \sqrt{17} + 3}{4} \approx 3,842329219$$

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}\approx -2,342329219$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -3 und c durch -18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

-3 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -18.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+144}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 9 zu 144.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{153}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 153.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 3\sqrt{17}.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{17} von 3.

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Addieren Sie 18 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2p^{2}-3p-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Die Subtraktion von -18 von sich selbst ergibt 0.

$$2p^{2}-3p=-\left(-18\right)$$

Subtrahieren Sie -18 von 0.

$$2p^{2}-3p=18$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2p^{2}-3p}{2}=\frac{18}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=9$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=9+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie 9 zu \frac{9}{16}.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{153}{16}$$

Faktor p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{153}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{16}}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{17}}{4} p-\frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{17}}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$