2x^2-5x+1=4 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -5x+1=4$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 1, um -3 zu erhalten.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$1,-6 2,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-6 b=1$$

2x^{2}-5x-3 als \left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

Klammern Sie 2x in 2x^{2}-6x aus.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 2x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-5x+1-4=4-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 1.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -5 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±7}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 7.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie 12 durch 4.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±7}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-5x+1-1=4-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-5x=4-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 4.

$$2x^{2}-5x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$