2x^2-4x+7=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1+1,58113883i$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1-1,58113883i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-4x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -4 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-56}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 16 zu -56.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-40}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -40.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{10}i}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2i\sqrt{10}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{10}i}{4}$$

Dividieren Sie 4+2i\sqrt{10} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{10} von 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}i+4}{4}$$

Dividieren Sie 4-2i\sqrt{10} durch 4.

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-4x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-4x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-4x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x^{2}-2x=-\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{7}{2}+1$$

Addieren Sie -\frac{7}{2} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{5}{2}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{\sqrt{10}i}{2} x-1=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$