2x^2+16x-1=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +16x-1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4\approx 0,062019202$$

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4\approx -8,062019202$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+16x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 16 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -1.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 256 zu 8.

$$x=\frac{-16±\sqrt{264}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 264.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 2\sqrt{66}.

$$x=\frac{2\sqrt{66}-16}{4}$$

Dividieren Sie -16+2\sqrt{66} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±2\sqrt{66}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{66} von -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{66}-16}{4}$$

Dividieren Sie -16-2\sqrt{66} durch 4.

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4 x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+16x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+16x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+16x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$2x^{2}+16x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+16x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{16}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 16 durch 2.

$$x^{2}+8x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+8x+4^{2}=\frac{1}{2}+4^{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x^{2}+8x+16=\frac{1}{2}+16$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu 16.

$$x^{2}+8x+16=\frac{33}{2}$$

Faktor x^{2}+8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+4\right)^{2}=\frac{33}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+4=\frac{\sqrt{66}}{2} x+4=-\frac{\sqrt{66}}{2}$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}-4 x=-\frac{\sqrt{66}}{2}-4$$