2x^2+12x-9=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +12x-9=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3\sqrt{6}}{2}-3\approx 0,674234614$$

$$x=-\frac{3\sqrt{6}}{2}-3\approx -6,674234614$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+12x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 12 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+72}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 144 zu 72.

$$x=\frac{-12±\sqrt{216}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 216.

$$x=\frac{-12±6\sqrt{6}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-12±6\sqrt{6}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±6\sqrt{6}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 6\sqrt{6}.

$$x=\frac{6\sqrt{6}-12}{4}$$

Dividieren Sie -12+6\sqrt{6} durch 4.

$$x=\frac{3\sqrt{6}}{2}-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±6\sqrt{6}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{6} von -12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}-12}{4}$$

Dividieren Sie -12-6\sqrt{6} durch 4.

$$x=-\frac{3\sqrt{6}}{2}-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{6}}{2}-3 x=-\frac{3\sqrt{6}}{2}-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+12x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+12x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$2x^{2}+12x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{9}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x^{2}+6x=\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=\frac{9}{2}+3^{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x^{2}+6x+9=\frac{9}{2}+9$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu 9.

$$x^{2}+6x+9=\frac{27}{2}$$

Faktor x^{2}+6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+3\right)^{2}=\frac{27}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+3=\frac{3\sqrt{6}}{2} x+3=-\frac{3\sqrt{6}}{2}$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3\sqrt{6}}{2}-3 x=-\frac{3\sqrt{6}}{2}-3$$