2+3x-4x^2=0 lösen

$$2 + 3 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+3x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 3 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+32}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 32.

$$x=\frac{-3±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{-8}$$

Dividieren Sie -3+\sqrt{41} durch -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{41} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{-8}$$

Dividieren Sie -3-\sqrt{41} durch -8.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8} x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+3x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4x^{2}+3x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$-4x^{2}+3x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+3x}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{-4}x=-\frac{2}{-4}$$

Dividieren Sie 3 durch -4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{2}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$