18x^2-15x+2 lösen

$$18 x ^ { 2 } - 15 x + 2$$

Faktorisieren

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 18x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-15 ab=18\times 2=36$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 36 ergeben.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -15 ergibt.

$$a=-12 b=-3$$

18x^{2}-15x+2 als \left(18x^{2}-12x\right)+\left(-3x+2\right) umschreiben.

$$\left(18x^{2}-12x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Klammern Sie 6x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$6x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$18x^{2}-15x+2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 18\times 2}}{2\times 18}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 18\times 2}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-72\times 2}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -72 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-144}}{2\times 18}$$

Addieren Sie 225 zu -144.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{81}}{2\times 18}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±9}{2\times 18}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±9}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 18.

$$x=\frac{15±9}{36}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±9}{36}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 9.

$$x=\frac{24}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{24}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±9}{36}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 15.

$$x=\frac{6}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{6}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{2}{3} und für x_{2} \frac{1}{6} ein.

$$18x^{2}-15x+2=18\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{6}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{2}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{3x-2}{3}\left(x-\frac{1}{6}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{6} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{6x-1}{6}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-2}{3} mit \frac{6x-1}{6}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)}{3\times 6}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 6.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)}{18}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 18 in 18 und 18 aufheben.

$$18x^{2}-15x+2=\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$