18x^2+33x=180 lösen

$$18 { x }^{ 2 } +33x=180$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$18x^{2}+33x=180$$

180 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Die Subtraktion von 180 von sich selbst ergibt 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 18, b durch 33 und c durch -180, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

33 zum Quadrat.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -72 mit -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Addieren Sie 1089 zu 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -33 zu 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Dividieren Sie -33+3\sqrt{1561} durch 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{1561} von -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Dividieren Sie -33-3\sqrt{1561} durch 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$18x^{2}+33x=180$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

Division durch 18 macht die Multiplikation mit 18 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{33}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Dividieren Sie 180 durch 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Dividieren Sie \frac{11}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Addieren Sie 10 zu \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

\frac{11}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$