16x-7-4x^2 lösen

$$16x-7-4 { x }^{ 2 }$$

Faktorisieren

$$\left(1-2x\right)\left(2x-7\right)$$

Lösungsschritte

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-4x^{2}+16x-7$$

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -4x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=-4\left(-7\right)=28$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.

$$1,28 2,14 4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=14 b=2$$

-4x^{2}+16x-7 als \left(-4x^{2}+14x\right)+\left(2x-7\right) umschreiben.

$$\left(-4x^{2}+14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Klammern Sie -2x in -4x^{2}+14x aus.

$$-2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-7\right)\left(-2x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-4x^{2}+16x-7=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+16\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-112}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 256 zu -112.

$$x=\frac{-16±\sqrt{144}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-16±12}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-16±12}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±12}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 12.

$$x=-\frac{4}{-8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{-8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±12}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -16.

$$x=-\frac{28}{-8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{-8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} \frac{7}{2} ein.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{7}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{-2x+1}{-2}\left(x-\frac{7}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{-2x+1}{-2}\times \frac{-2x+7}{-2}$$

Multiplizieren Sie \frac{-2x+1}{-2} mit \frac{-2x+7}{-2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{\left(-2x+1\right)\left(-2x+7\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -2 mit -2.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{\left(-2x+1\right)\left(-2x+7\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in -4 und 4 aufheben.

$$-4x^{2}+16x-7=-\left(-2x+1\right)\left(-2x+7\right)$$

Auswerten

$$\left(1-2x\right)\left(2x-7\right)$$