16x^2+8x-3=0 lösen

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 16x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-4 b=12$$

16x^{2}+8x-3 als \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right) umschreiben.

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-1=0 und 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch 8 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 64 zu 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±16}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±16}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Addieren Sie \frac{3}{16} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$