16b^2-44b+10=0 lösen

$$16 b ^ { 2 } - 44 b + 10 = 0$$

Nach b auflösen

$$b=\frac{1}{4}=0,25$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$8b^{2}-22b+5=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8b^{2}+ab+bb+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-22 ab=8\times 5=40$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 40 ergeben.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -22 ergibt.

$$a=-20 b=-2$$

8b^{2}-22b+5 als \left(8b^{2}-20b\right)+\left(-2b+5\right) umschreiben.

$$\left(8b^{2}-20b\right)+\left(-2b+5\right)$$

Klammern Sie 4b in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$4b\left(2b-5\right)-\left(2b-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2b-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2b-5\right)\left(4b-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2b-5=0 und 4b-1=0.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$16b^{2}-44b+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch -44 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\times 10}}{2\times 16}$$

-44 zum Quadrat.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\times 10}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\times 10}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit 10.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-640}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 1936 zu -640.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1296}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1296.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±36}{2\times 16}$$

Das Gegenteil von -44 ist 44.

$$b=\frac{44±36}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$b=\frac{44±36}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{44±36}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 44 zu 36.

$$b=\frac{80}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{80}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$b=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{44±36}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 36 von 44.

$$b=\frac{8}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$b=\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$16b^{2}-44b+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$16b^{2}-44b+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$16b^{2}-44b=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16b^{2}-44b}{16}=-\frac{10}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$b^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)b=-\frac{10}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-44}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b=-\frac{10}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b=-\frac{5}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{11}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}=-\frac{5}{8}+\frac{121}{64}$$

Addieren Sie -\frac{5}{8} zu \frac{121}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktor b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(b-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Vereinfachen.

$$b-\frac{11}{8}=\frac{9}{8} b-\frac{11}{8}=-\frac{9}{8}$$

Addieren Sie \frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$