16x^2+160x=48000 lösen

$$16 { x }^{ 2 } +160x=48000$$

Nach x auflösen

$$x=-60$$

$$x=50$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 48000 von beiden Seiten.

$$16x^{2}+160x-48000=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-3000 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -3000 ergeben.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-50 b=60$$

x^{2}+10x-3000 als \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 60 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-50 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-50=0 und x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$16x^{2}+160x=48000$$

48000 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$16x^{2}+160x-48000=48000-48000$$

Die Subtraktion von 48000 von sich selbst ergibt 0.

$$16x^{2}+160x-48000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch 160 und c durch -48000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 16\left(-48000\right)}}{2\times 16}$$

160 zum Quadrat.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 16\left(-48000\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-64\left(-48000\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit -48000.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600+3072000}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 25600 zu 3072000.

$$x=\frac{-160±\sqrt{3097600}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3097600.

$$x=\frac{-160±1760}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{-160±1760}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-160±1760}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -160 zu 1760.

$$x=\frac{1600}{32}$$

Dividieren Sie 1600 durch 32.

$$x=50$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-160±1760}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1760 von -160.

$$x=-\frac{1920}{32}$$

Dividieren Sie -1920 durch 32.

$$x=-60$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=50 x=-60$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$16x^{2}+160x=48000$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}+160x}{16}=\frac{48000}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{160}{16}x=\frac{48000}{16}$$

Dividieren Sie 160 durch 16.

$$x^{2}+10x=\frac{48000}{16}$$

Dividieren Sie 48000 durch 16.

$$x^{2}+10x=3000$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

Addieren Sie 3000 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

Vereinfachen.

$$x+5=55 x+5=-55$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=50 x=-60$$