14x^2-4x-3=0 lösen

$$14 x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7}\approx 0,627309285$$

$$x=-\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7}\approx -0,341594999$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$14x^{2}-4x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 14, b durch -4 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 14.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-56\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -56 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+168}}{2\times 14}$$

Addieren Sie 16 zu 168.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{184}}{2\times 14}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}}{2\times 14}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 14.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}}{28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{46}}{28}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2\sqrt{46}.

$$x=\frac{2\sqrt{46}+4}{28}$$

Dividieren Sie 4+2\sqrt{46} durch 28.

$$x=\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{46}}{28}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{46} von 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{46}}{28}$$

Dividieren Sie 4-2\sqrt{46} durch 28.

$$x=-\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7} x=-\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$14x^{2}-4x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$14x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$14x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$14x^{2}-4x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 14.

$$\frac{14x^{2}-4x}{14}=\frac{3}{14}$$

Division durch 14 macht die Multiplikation mit 14 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{14}\right)x=\frac{3}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{14}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{14}+\frac{1}{49}$$

Addieren Sie \frac{3}{14} zu \frac{1}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{23}{98}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{23}{98}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23}{98}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{46}}{14} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{46}}{14}$$

Addieren Sie \frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7} x=-\frac{\sqrt{46}}{14}+\frac{1}{7}$$