13n^2-41n-120=0 lösen

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Nach n auflösen

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 13n^{2}+an+bn-120 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1560 ergeben.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -41 ergibt.

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 als \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) umschreiben.

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Klammern Sie 13n in der ersten und 24 in der zweiten Gruppe aus.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-5=0 und 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 13, b durch -41 und c durch -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-41 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -52 mit -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Addieren Sie 1681 zu 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Das Gegenteil von -41 ist 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{41±89}{26}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 41 zu 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Dividieren Sie 130 durch 26.

$$n=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{41±89}{26}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 89 von 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{26} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Addieren Sie 120 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Die Subtraktion von -120 von sich selbst ergibt 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Subtrahieren Sie -120 von 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Division durch 13 macht die Multiplikation mit 13 rückgängig.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Dividieren Sie -\frac{41}{13}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{41}{26} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{41}{26} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{41}{26}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Addieren Sie \frac{120}{13} zu \frac{1681}{676}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Faktor n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Addieren Sie \frac{41}{26} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$