12x^2-4x-1 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 4 x - 1$$

Faktorisieren

$$\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=12\left(-1\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-6 b=2$$

12x^{2}-4x-1 als \left(12x^{2}-6x\right)+\left(2x-1\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-6x\right)+\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie 6x in 12x^{2}-6x aus.

$$6x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}-4x-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 12\left(-1\right)}}{2\times 12}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 12\left(-1\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-48\left(-1\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 16 zu 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{4±8}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±8}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 8.

$$x=\frac{12}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±8}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 4.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{1}{6} ein.

$$12x^{2}-4x-1=12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}-4x-1=12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{6x+1}{6}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-1}{2} mit \frac{6x+1}{6}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12x^{2}-4x-1=\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$