12x^2+2x=20 lösen

$$12 x ^ { 2 } + 2 x = 20$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{241} - 1}{12} \approx 1,210347891$$

$$x=\frac{-\sqrt{241}-1}{12}\approx -1,377014558$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}+2x=20$$

20 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}+2x-20=20-20$$

Die Subtraktion von 20 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}+2x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 2 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 12\left(-20\right)}}{2\times 12}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 12\left(-20\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-48\left(-20\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+960}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 4 zu 960.

$$x=\frac{-2±\sqrt{964}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 964.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{241}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{241}}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{241}}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{241}.

$$x=\frac{2\sqrt{241}-2}{24}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{241} durch 24.

$$x=\frac{\sqrt{241}-1}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{241}}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{241} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{241}-2}{24}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{241} durch 24.

$$x=\frac{-\sqrt{241}-1}{12}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{241}-1}{12} x=\frac{-\sqrt{241}-1}{12}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}+2x=20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}+2x}{12}=\frac{20}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{12}x=\frac{20}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{20}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie \frac{1}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{3}+\frac{1}{144}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{1}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{241}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{241}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{241}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{241}}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{241}}{12}$$

\frac{1}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{241}-1}{12} x=\frac{-\sqrt{241}-1}{12}$$