12x^2+17x-7=0 lösen

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 12x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -84 ergeben.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=-4 b=21$$

12x^{2}+17x-7 als \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-1=0 und 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 17 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

17 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 289 zu 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±25}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±25}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Dividieren Sie \frac{17}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{17}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{17}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{17}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Addieren Sie \frac{7}{12} zu \frac{289}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

\frac{17}{24} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$