12x^2-5x+6=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } -5x+6=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24}\approx 0,208333333+0,675719781i$$

$$x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}\approx 0,208333333-0,675719781i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-5x+6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -5 und c durch 6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\times 6}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-288}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 25 zu -288.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-263}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -263.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{263}i}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{263}i}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{5±\sqrt{263}i}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{263}i}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu i\sqrt{263}.

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{263}i}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{263} von 5.

$$x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24} x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-5x+6=0$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-5x+6-6=-6$$

Die Subtraktion von 6 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-5x=-6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=-\frac{6}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=-\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{576}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{25}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=-\frac{263}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=-\frac{263}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{263}{576}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{\sqrt{263}i}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{\sqrt{263}i}{24}$$

Addieren Sie \frac{5}{24} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24} x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}$$