12x^2+80x+100 lösen

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Faktorisieren

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}+20x+25. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+25 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 75 ergeben.

$$1,75 3,25 5,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=5 b=15$$

3x^{2}+20x+25 als \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

80 zum Quadrat.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 6400 zu -4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-80±40}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -80 zu 40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-80±40}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40 von -80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

Dividieren Sie -120 durch 24.

$$x=-5$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{5}{3} und für x_{2} -5 ein.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 12 und 3 aufheben.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Auswerten

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$