10c^2-19c-15 lösen

$$10 c ^ { 2 } - 19 c - 15$$

Faktorisieren

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10c^{2}+ac+bc-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -150 ergeben.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -19 ergibt.

$$a=-25 b=6$$

10c^{2}-19c-15 als \left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right) umschreiben.

$$\left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right)$$

Klammern Sie 5c in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5c\left(2c-5\right)+3\left(2c-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2c-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10c^{2}-19c-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

-19 zum Quadrat.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit -15.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 361 zu 600.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±31}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -19 ist 19.

$$c=\frac{19±31}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$c=\frac{19±31}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung c=\frac{19±31}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 19 zu 31.

$$c=\frac{50}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{50}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$c=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung c=\frac{19±31}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von 19.

$$c=-\frac{12}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$c=-\frac{3}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{2} und für x_{2} -\frac{3}{5} ein.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von c, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu c, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\times \frac{5c+3}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{2c-5}{2} mit \frac{5c+3}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 10 und 10 aufheben.

$$10c^{2}-19c-15=\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Auswerten

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$