-3x^2-2x+5=0 lösen

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$1,-15 3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=3 b=-5$$

-3x^{2}-2x+5 als \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+1=0 und 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -2 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±8}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±8}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividieren Sie -6 durch -6.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Dividieren Sie -2 durch -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Dividieren Sie -5 durch -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$