-2x^2+x-3=0 lösen

$$-2 { x }^{ 2 } +x-3=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4}\approx 0,25-1,198957881i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,25+1,198957881i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 1 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 1 zu -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{-4}$$

Dividieren Sie -1+i\sqrt{23} durch -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{23} von -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{-4}$$

Dividieren Sie -1-i\sqrt{23} durch -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-2x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$-2x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$-2x^{2}+x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividieren Sie 1 durch -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividieren Sie 3 durch -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie -\frac{3}{2} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4}$$