-6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x lösen

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Nach y, x auflösen

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1,875$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -3 mit x+2 zu multiplizieren.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinieren Sie x und -3x, um -2x zu erhalten.

$$-2x-6=2y-8x$$

Subtrahieren Sie 2y von beiden Seiten.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Auf beiden Seiten 8x addieren.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinieren Sie -2x und 8x, um 6x zu erhalten.

$$6x-6-2y=0$$

Auf beiden Seiten 6 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$6x-2y=6$$

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für y, indem Sie y auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$-6y+2x=12$$

2x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-6y=-2x+12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Multiplizieren Sie -\frac{1}{6} mit -2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Ersetzen Sie y durch \frac{x}{3}-2 in der anderen Gleichung, -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Multiplizieren Sie -2 mit \frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Addieren Sie -\frac{2x}{3} zu 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Beide Seiten der Gleichung durch \frac{16}{3} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ersetzen Sie in y=\frac{1}{3}x-2 x durch \frac{3}{8}. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für y auflösen.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{3} mit \frac{3}{8}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Addieren Sie -2 zu \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -3 mit x+2 zu multiplizieren.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinieren Sie x und -3x, um -2x zu erhalten.

$$-2x-6=2y-8x$$

Subtrahieren Sie 2y von beiden Seiten.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Auf beiden Seiten 8x addieren.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinieren Sie -2x und 8x, um 6x zu erhalten.

$$6x-6-2y=0$$

Auf beiden Seiten 6 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$6x-2y=6$$

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente y und x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Betrachten Sie die zweite Gleichung. Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -3 mit x+2 zu multiplizieren.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinieren Sie x und -3x, um -2x zu erhalten.

$$-2x-6=2y-8x$$

Subtrahieren Sie 2y von beiden Seiten.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Auf beiden Seiten 8x addieren.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinieren Sie -2x und 8x, um 6x zu erhalten.

$$6x-6-2y=0$$

Auf beiden Seiten 6 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$6x-2y=6$$

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Um -6y und -2y gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit -2 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit -6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Vereinfachen.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Subtrahieren Sie 12y-36x=-36 von 12y-4x=-24, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Addieren Sie 12y zu -12y. Die Terme 12y und -12y heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$-4x+36x=-24+36$$

Addieren Sie -4x zu 36x.

$$32x=-24+36$$

Addieren Sie -24 zu 36.

$$32x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 32.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ersetzen Sie in -2y+6x=6 x durch \frac{3}{8}. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für y auflösen.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Multiplizieren Sie 6 mit \frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

\frac{9}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$