-5x^2+9x+2>0 lösen

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 > 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie die Ungleichung mit -1, um den Koeffizienten mit der höchsten Potenz in -5x^{2}+9x+2 positiv zu machen. Da -1 negativ ist, wird die Richtung der Ungleichung geändert.

$$5x^{2}-9x-2<0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-9x-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -9 und c durch -2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{9±11}{10}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{9±11}{10}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-2 und x+\frac{1}{5} gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-2 positiv und x+\frac{1}{5} negativ ist.

$$x-2>0 x+\frac{1}{5}<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x+\frac{1}{5} positiv und x-2 negativ ist.

$$x+\frac{1}{5}>0 x-2<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(-\frac{1}{5},2\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$