-5x^2+9x+2=0 lösen

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -5x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=-5\times 2=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$-1,10 -2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=10 b=-1$$

-5x^{2}+9x+2 als \left(-5x^{2}+10x\right)+\left(-x+2\right) umschreiben.

$$\left(-5x^{2}+10x\right)+\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie 5x in -5x^{2}+10x aus.

$$5x\left(-x+2\right)-x+2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+2\right)\left(5x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+2=0 und 5x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-5x^{2}+9x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -5, b durch 9 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 20 mit 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\left(-5\right)}$$

Addieren Sie 81 zu 40.

$$x=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\left(-5\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-9±11}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -5.

$$x=\frac{-9±11}{-10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±11}{-10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 11.

$$x=\frac{2}{-10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{-10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±11}{-10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -9.

$$x=-\frac{20}{-10}$$

Dividieren Sie -20 durch -10.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{5} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-5x^{2}+9x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-5x^{2}+9x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$-5x^{2}+9x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{2}{-5}$$

Division durch -5 macht die Multiplikation mit -5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{2}{-5}$$

Dividieren Sie 9 durch -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{2}{-5}$$

Dividieren Sie -2 durch -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{2}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{2}{5}+\frac{81}{100}$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu \frac{81}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{121}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{121}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{11}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{11}{10}$$

Addieren Sie \frac{9}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$