-3x^2-5x+12=0 lösen

$$- 3 x ^ { 2 } - 5 x + 12 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=-3\times 12=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=4 b=-9$$

-3x^{2}-5x+12 als \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(3x-4\right)-3\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-4=0 und -x-3=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -5 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+12\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 25 zu 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{5±13}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±13}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 13.

$$x=\frac{18}{-6}$$

Dividieren Sie 18 durch -6.

$$x=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±13}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 5.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-3 x=\frac{4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-3x^{2}-5x+12-12=-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}-5x=-12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-5x}{-3}=-\frac{12}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-3}\right)x=-\frac{12}{-3}$$

Dividieren Sie -5 durch -3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{12}{-3}$$

Dividieren Sie -12 durch -3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=4$$

Dividieren Sie \frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

\frac{5}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$