-3r^2+90r=93 lösen

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

Nach r auflösen

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28,928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1,071611723$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3r^{2}+90r=93$$

93 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

Die Subtraktion von 93 von sich selbst ergibt 0.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 90 und c durch -93, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

90 zum Quadrat.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -93.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 8100 zu -1116.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6984.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -90 zu 6\sqrt{194}.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Dividieren Sie -90+6\sqrt{194} durch -6.

$$r=15-\sqrt{194}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{194} von -90.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Dividieren Sie -90-6\sqrt{194} durch -6.

$$r=\sqrt{194}+15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

Dividieren Sie 90 durch -3.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

Dividieren Sie 93 durch -3.

$$r^{2}-30r=-31$$

Dividieren Sie -30, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -15 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -15 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

-15 zum Quadrat.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

Addieren Sie -31 zu 225.

$$r^{2}-30r+225=194$$

Faktor r^{2}-30r+225. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

Vereinfachen.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$