-16t^2+36t+7=0 lösen

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2,430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0,180038314$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -16, b durch 36 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

36 zum Quadrat.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 64 mit 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Addieren Sie 1296 zu 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1744.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -36 zu 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Dividieren Sie -36+4\sqrt{109} durch -32.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{109} von -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Dividieren Sie -36-4\sqrt{109} durch -32.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -16.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

Division durch -16 macht die Multiplikation mit -16 rückgängig.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{36}{-16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

Dividieren Sie -7 durch -16.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

Addieren Sie \frac{7}{16} zu \frac{81}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Faktor t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Addieren Sie \frac{9}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$