(20-x)(100+20x)=2240 lösen

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-x mit 100+20x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Subtrahieren Sie 2240 von beiden Seiten.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Subtrahieren Sie 2240 von 2000, um -240 zu erhalten.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -20, b durch 300 und c durch -240, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

300 zum Quadrat.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplizieren Sie 80 mit -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Addieren Sie 90000 zu -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -300 zu 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Dividieren Sie -300+20\sqrt{177} durch -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20\sqrt{177} von -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Dividieren Sie -300-20\sqrt{177} durch -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-x mit 100+20x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Subtrahieren Sie 2000 von beiden Seiten.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Subtrahieren Sie 2000 von 2240, um 240 zu erhalten.

$$300x-20x^{2}=240$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Division durch -20 macht die Multiplikation mit -20 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Dividieren Sie 300 durch -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Dividieren Sie 240 durch -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Dividieren Sie -15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie -12 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$