(1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400 lösen

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 1+\frac{x}{2} zu multiplizieren.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Drücken Sie 2\times \frac{x}{2} als Einzelbruch aus.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Heben Sie 2 und 2 auf.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 2+x mit jedem Term von 1000-200x multiplizieren.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kombinieren Sie -400x und 1000x, um 600x zu erhalten.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 1000 mit 1+x zu multiplizieren.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Addieren Sie 2000 und 1000, um 3000 zu erhalten.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Kombinieren Sie 600x und 1000x, um 1600x zu erhalten.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Subtrahieren Sie 28800 von beiden Seiten.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Subtrahieren Sie 28800 von 3000, um -25800 zu erhalten.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -200, b durch 1600 und c durch -25800, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

1600 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Multiplizieren Sie 800 mit -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Addieren Sie 2560000 zu -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1600 zu 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Dividieren Sie -1600+400i\sqrt{113} durch -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 400i\sqrt{113} von -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Dividieren Sie -1600-400i\sqrt{113} durch -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 1+\frac{x}{2} zu multiplizieren.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Drücken Sie 2\times \frac{x}{2} als Einzelbruch aus.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Heben Sie 2 und 2 auf.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 2+x mit jedem Term von 1000-200x multiplizieren.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kombinieren Sie -400x und 1000x, um 600x zu erhalten.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 1000 mit 1+x zu multiplizieren.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Addieren Sie 2000 und 1000, um 3000 zu erhalten.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Kombinieren Sie 600x und 1000x, um 1600x zu erhalten.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Subtrahieren Sie 3000 von beiden Seiten.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Subtrahieren Sie 3000 von 28800, um 25800 zu erhalten.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Division durch -200 macht die Multiplikation mit -200 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Dividieren Sie 1600 durch -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Dividieren Sie 25800 durch -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Addieren Sie -129 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Vereinfachen.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$